一元二次方程式配方法之「倒車入庫」(國二上)

一元二次方程式配方法之「倒車入庫」(國二上)

　　Joe叔叔認為整個國二上數學的主軸除了勾股定理之外，都是為了一個主題：解一元二次方程式，很多小朋友學到最後的公式解，就會回過頭來問Joe叔叔不是背背公式就好了，為何還要會配方法呢？殊不知配方法到了國三下的二次函數時就會開始真正發威！（針對此Joe叔叔有一個萬能公式喔）因此推導的過程和結果是一樣重要，對於學習這個單元來說真是一點都沒錯！

　　其實配方法就是公式解的源頭（有一些題目甚至只要用到配方法就可以了，真的去用公式解反而麻煩喔！），因此如果真的知道配方法的正確步驟，那麼相信公式解也不會忘記！如果沒時間複習這個單元的小朋友，看一下Joe叔叔的這篇文章應該就可以很快的恢復記憶了！

　　首先，我們從最基本的平方根出發：；

　　如果再加一點變化：

　　從上面兩個非常基本的例子就可以看得出來，只要能配出所謂的完全平方後，接下來就只要記得Joe叔叔的口訣：「開根號前加正負號」就可以得到正確的答案（當然對國中生來說如果一個完全平方式＝負數，就是無實數解囉！例如：）

 

　　回到剛剛提到適合用配方法來處理的問題，Joe叔叔也有非常好記的口訣喔：

例如：解一元二次方程式

　　首先就是要把x平方項的係數變成1，也就是同除2（口訣：新兵入伍先理平頭）

　　再來就是把899移到等號的右邊（口訣：把行李丟到後車箱）＝＞

　　接下來為了將左式湊成完全平方數，因此在等號的兩邊都同時加上900（口訣：等號左右兩邊同加中間項除以2再平方）

＝＞

＝＞

＝＞（口訣：開根號前加正負號）

　　如果上述這一題改用所謂的公式解相信一定有不少小朋友會覺得數字變得非常可怕！

p.s. 一元二次方程式的公式解

　　以這題來說數字會變成：（會不會有點頭昏眼花的感覺？）

 

　　不過在學校的月考中，有另外一種類型的配方法題目也是非常熱門

例如：將化為的型式，則p和q各是多少？

　　像這類的問題，Joe叔叔都把它們歸類為「倒車入庫」，意思就是說反其道而行，不需要真的去做配方法，只要把結果展開後再回去和原方程式做比較就可以求出答案！

　　以上述這題來說，

　　接下來只要再把方程式的兩邊都同乘3就可以和原方程式做比對（各項對應係數要一樣！）

所以

而

 

　　除此之外還有另一種問法也可以同樣可以用「倒車入庫」的方式來做：

例：若方程式的解為，請問m是多少？

　　相信不少小朋友看到這裡就會忍不住打算公式解的方法來算，不過Joe叔叔還是先用剛剛所用過的「倒車入庫」來示範一下：

　　首先也是關鍵的一步，先把等號右邊的移到左邊來！再兩邊同時平方：

　　加下來和剛剛一樣把結果展開後，再把方程式的兩邊都同乘4再回去和原方程式做比較就可以求出答案！

　　看到這裡會不會覺得「倒車入庫」真的很好用，事實上不管未知數在任何一項（本題是在常數項）都可以用同樣的方法，不信自己試試看囉！

Fair Game（國三下機率）

Fair Game（國三下機率）

　　在機率的世界中，Joe叔叔對於「公平」這兩個字的印象特別深刻。例如題目會出現公平的骰子或公平的銅板。對於喜歡到香腸攤去打香腸的Joe叔叔來說最擔心的莫過於老闆用的骰子不公平了！當然香腸攤的老闆也非等閒之輩要比賽之前，老闆都會先問Joe叔叔要比大還是比小來以示公平！（不過平手則算莊家也就是老闆贏喔！這個規則則對客人不利。）

　　在美國留學時曾經到過大西洋賭城去玩過的Joe叔叔，對於賭城一些特別的規則感到十分的有趣，例如每張賭桌的賭注有最高的上限（例如一次下注最多不能超過xxx美元，這個限制對莊家－也就是賭場有利）

　　看看以下的例子就可以發現Fair Game的觀點解題有多麼快了！

例：甲乙兩人猜拳（剪刀石頭布）如果分別出剪刀、石頭和布的機率都一樣（各三分之一的意思拉），若兩人出一樣的就算平手（沒輸沒贏），請問甲獲勝的機率是多少？

　　這種題目或許有的小朋友會用所謂的樹狀圖來解題

　　不過事實上只要考慮甲乙兩人平手的機會是（甲乙出拳的所有組合可能性是9種：例如甲出剪刀乙出石頭；而平手的情況只有3種：例如甲出剪刀乙也出剪刀）

　　扣掉平手後剩下的機率為，而這個猜拳的遊戲並沒有特別偏袒甲或乙，因此甲勝乙或乙勝甲的機率應該一樣，所以把平分。

　　結論：甲勝乙的機率＝；乙勝甲的機率＝；平手的機率＝

 

　　如果小朋友或家長覺得剛剛的例子太簡單，那Joe叔叔來介紹下面這一題

例：甲乙兩人比賽撞球，第一個連勝兩場或先勝三場者贏的比賽，請問甲贏得比賽的機率為多少？

　　如果這一題要用剛剛的樹狀圖解題那可有得畫了：

　　可是如果用Fair Game的觀點那麼，馬上就可以寫下答案：（因為遊戲規則中並沒有特別偏袒某一方）

 

　　如果這樣的題目還是覺得不過癮，那我們來看下一個標準的題型：

例：投擲一粒公正的骰子兩次，請問第二次的點數不小於第一次的點數的機率是多少？

　　分別丟兩次骰子，那麼所有的組合為6×6＝36種可能性。

我們可以把所有的組合分成以下三類：

（A）第二次的點數＝第一次的點數

（B）第二次的點數＞第一次的點數

（C）第二次的點數＜第一次的點數

　　其中（B）和（C）出現的可能性應該是一樣多：例如出現第二次丟2點＞第一次丟1點，就一定會出現第一次丟2點＞第二次丟1點！

　　因此只要把（A）的所有可能性算出來剩下的平分給（B）和（C）就O.K.啦！

（A）的可能性包括：兩次都出現1點、2點、3點、4點、5點、6點共6種組合，因此兩次點數相等的機率是。

（B）的機率＝（C）的機率＝。

　　所以回到題目所說的：第二次的點數不小於第一次的點數的機率是多少？（不小於就是大於等於喔！）

　　那麼我們只要把（A）＋（B）＝，這樣算是不是比慢慢數要快很多呢？