扇形－基礎篇（平面圖形）（國二下）

扇形－基礎篇（平面圖形）（國二下）

　　從國二下的第二章開始一直到國三上結束，國中的數學課程就會進入幾何的階段，Joe叔叔看過有些小朋友雖然代數很厲害可是碰到幾何就……

　　因此Joe叔叔非常重視幾何，也提醒小朋友幾何不像代數，幾何的變化非常的多，隨便畫一畫就是個新的圖形，基測中難題也常常出現在幾何喔！

　　雖然說平面圖形在國中幾何中應該算是baby等級的內容，但是因為實在太久沒有接觸到幾何了，再加上小學學的圓周長圓面積都已經還給老師，因此Joe叔叔特別把扇形的部分整理出來，相信看過之後對於月考會出現的扇形基本題一定可以得心應手！

　　首先當然要搞清楚扇形的定義，它的頂點是圓心，扇形的周長是兩條半徑及圓心角所對應的弧長。因此圓心角到底是幾度就成了最重要的課題了！

　　如果題目已經給我們圓心角，那小朋友只要算出這個扇形到底是幾分之幾圓其他扇形弧長和扇形面積就用圓周長和圓面積的等比例下去算就O.K.了！

例：有一個扇形已知其圓心角是60度，半徑是12，求扇形的弧長和面積？

當然幾分之幾圓可以用以下的公式來算：

（不要忘了一個圓是360度）

根據這個公式就可以算出這個扇形是圓，接下來

　　只不過有時題目會故意要小朋友求扇形周長（而非弧長），因此小朋友必須要把算出來的扇形弧長再加上兩條半徑才是正確答案喔！

扇形周長＝

　　上述的例子很簡單因為題目已經告訴我們圓心角了，在月考的時候老師常常是把題目反過來出，也就是給小朋友扇形的弧長、周長或扇形面積來反求圓心角，甚至從扇形周長求扇形面積的變化題！總之，不管題目怎麼變小朋友只要記得Joe叔叔講的，先算幾分之幾圓就對了！

例：已知一扇形的面積是，其半徑是6，請問這個扇形的周長是多少？

　　乍看之下，怎麼從扇形面積一下子就跳到扇形周長呢？反正Joe叔叔說過先求幾分之幾圓就對了！

　　所以這個扇形的圓周角就等於，而要算扇形周長就要先求扇形弧長＝，最後扇形周長＝扇形弧長+2×半徑＝。

　　最後我們來看看扇形在同心圓上的一個基本變形：

例：下圖中是一個同心圓所截出來的扇形，半徑分別是6和10，請問斜線部分的周長和面積各是多少？

　　首先我們只要弄清楚原來白色的小扇形和整個大扇形的圓心角都一樣是120度（也就是圓），其他的部分就和上面講過的解法都相同了！

斜線面積

＝大扇形－小扇形＝

斜線周長＝大扇形弧長＋小扇形弧長＋2×（大圓半徑－小圓半徑）

＝

＝

等差數列三斧頭之二（國二下）

等差數列三斧頭之二（國二下）

　　如果說等差數列的一號公式是最基本的，那麼二號公式應該就是最有用的！

用間隔的觀點來看等差數列，第n項和第m項中間會有（n－m）個間隔（也叫做公差），用數學式子來表示就寫成：

　　題目不一定要告訴我們首項是多少，只要給任兩項的值就可以算出整個等差數列喔！看看下面的例子：

例：已知一等差數列的第二項為4，末項為94，公差為6，如果n代表項數，則n＝？

如果直接代二號公式：

不過一定有很多小朋友會不服氣，因為一號公式也可以輕鬆的算出答案

那就請看看下面這一題：

例：某等差數列的第4項為51，第10項為33，若第n項為－180，請問n＝？

相信很多小朋友會說就用一號公式去解首項和公差的聯立方程式就好了，不是嗎？

但是在這裡Joe叔叔要介紹小朋友換用二號公式來解解看。

（只問公差的話，這樣是否比較快？）

接下來不用求首項也可以直接求n喔！

，看到這裡相信不用Joe叔叔多說，很多小朋友應該就會知道二號公式的威力了！

等差數列三斧頭之一號公式（國二下）

等差數列三斧頭之一號公式（國二下）

　　等差數列的定義就是相鄰兩項中後項減掉前項為一個固定數，這個固定數就叫做「公差」。如果用數學符號來表示就是數列：

看起來這麼簡單的定義，在月考的時候卻常常愛考小朋友判斷哪些數列是等差數列喔！

　　看看下面幾個等差數列的例子：

（A）8，8，8，8，8＝＞Joe叔叔把這種都是一樣的數列叫做「心臟停止」，雖然公差是「0」，可是它絕對還是等差數列喔！

（B）＝＞看起來這些有開根號的數怎麼會是等差數列呢？其實只要做一些化簡就會一目瞭然囉！

，有沒有發現這個數列的公差就是（）

（C）＝＞整個數列都是未知數看起來有點怪怪的！不過檢查一下就會發現它是等差數列。

（D）＝＞這個數列相信很多小朋友如果來不及就會猜它不是等差數列，其實經過有理化後：

而，因此原本的數列經過整理就會變成：，這就是等差數列（）

　　看看下面幾個不是等差數列的例子：

（A）1，－1，1，－1，1＝＞這個數列看似有規律（振盪數列），可是卻不是等差數列，不相信檢查一下：－1－1＝－2（第二項減第一項），但是1－（－1）＝2（第三項減第二項），相鄰兩項沒有固定的公差就不是等差數列！

（B）＝＞這個數列則是常常騙倒一堆小朋友的題目喔！這個規律到不行的數列其實兩項之間的差通通都不一樣！例如：（第二項減第一項），而（第三項減第二項），所以它當然不是等差數列囉！

　　如果嫌上述幾個例子都很容易算出來，那我們來看看幾個用未知數表示的：

例：如果a、b、c、d四個數成等差數列，那麼以下的數列也都是等差數列：

（A） 順序倒過來也會是等差：d、c、b、a（而且新的公差就會是原本的相反數）

（B） 同加一個固定數也是等差：a＋5，b＋5，c＋5，d＋5（而且公差不變喔）

（C） 同減一個固定數也是等差：a－3，b－3，c－3，d－3（而且公差不變喔）

（D） 同乘一個數還是等差：7a，7b，7c，7d（新公差＝7×原本的公差）

（E） 同乘－1也是等差：－a，－b，－c，－d（新公差＝（－1）×原本的公差）

（F） 對應相加另一個等差數列仍然是等差：a＋1，b＋3，c＋5，d＋7（而新的公差就是這兩個數列的公差相加喔！請小朋友自己計算一下囉）

（G） a＋b，b＋c，c＋d也是等差數列：因為a，b，c和b，c，d都是等差數列

（H） b－a，c－b，d－c也是等差數列：因為b，c，d和－a，－b，－c都是等差數列！

但是如果a，b，c，d皆不為零時，下列兩種就不是等差數列囉

（A）（小朋友代1，2，3，4看看）

（B）1×a，2×b，3×c，4×d

　　看完了各種等差數列的介紹，Joe叔叔推薦小朋友月考必考的一號公式

：其中是代表第n項，當然就是第一項也就是首項，公差就是d，而（n－1）就是兩者之間的間隔數囉！接下來看一個標準問題：

例：一個等差數列的首項是，末項是－10，公差是，請問此數列共有幾項？

像這種知道首項末項和公差求n的題目，當然就是用一號公式囉！

　　另外，針對一號公式Joe叔叔在此介紹一個經典的問題，如果等差數列的第n項可表示為5n－2，請問此等差數列的公差是多少呢？

一個直覺的算法就是代n＝1，得到，代n＝2，得到

那麼根據一號公式：，。

不過Joe叔叔介紹一個可以一眼看出答案的快速解法，公差就是第n項中n的係數，那就是5！答案是不是和剛剛算了半天的結果一樣呢？

等差級數三斧頭之三（集團結婚－國二下）

等差級數三斧頭之三（集團結婚－國二下）

　　上次Joe叔叔在介紹小高斯計算1＋2＋3＋……＋100＝5050的時候用的是梯形面積公式，其實還有另外一種被稱為是集團結婚的方法也可以拿來算這種等差的問題！

　　如果有50個男生（號碼牌從1號到50號）和50個女生（號碼牌從51號到100號）報名參加集團結婚，當牧師說拿到號碼牌相加起來是101的就請出列，這時候就會有50對新人，而且每對新人的號碼牌加起來都剛好是101喔！（例如1＋100＝2＋99＝3＋98＝…）所以答案就是101×50＝5050！

　　那如果把題目改成1＋2＋3＋……＋101怎麼用集團結婚的方法解呢？剛剛1加到100一共偶數個，現在1加到101是奇數個，多出來的那個怎麼辦呢？不用緊張囉！多出來的那個（最中間那個數）就是這場集團結婚的牧師！（也就是說如果是偶數個，就是自助結婚不需要牧師啦！XDDDD）

如果用冷冰冰的數學語言來說

配合上等差數列中的等差中項公式來看，上述的公式就很清楚了！

　　當n是奇數時，，也就是說每對新人相加後除以2（平均的意思拉）都等於站在中間的牧師（）

　　而當n是偶數的時候，其實它就是Joe叔叔介紹過的一號公式！

接下來就讓我們來牛刀小試一下囉！

例：有一個等差級數共有41項，如果第21項是17，請問此等差級數的總和＝？

　　如果用集團結婚的方法來算，這41項的中間就是第21項＝（41＋1）÷2；所以第21項就是他們的平均，因此總和就是17×41＝697。

例：若等差級數的，，則

　　如果用集團結婚的方法來算，

因此剩下的就是搞清楚總共有幾對新人及到底有沒有牧師的存在囉！

19－8＝11，但是不要忘記頭尾都要算所以11＋1＝12，因此共有6對新人（＝12÷2），算出來是偶數所以沒有牧師！所以每對新人相加都等於－10＋22＝12；算出來的答案就是77（＝12×6）。

如果嫌上述的問題太簡單，那就挑戰看看下面這一題！

例：有一個等差級數共10項，公差也是10，如果已知其總和為3950，請問第10項是多少？

　　乍看之下這題不知道首項和末項，不過冷靜下來用一號公式或二號公式其實都可以解題，在這邊Joe叔叔特別用「集團結婚」的方法來解解看，也讓小朋友知道其實數學存在各種不同的解法也各有它們的觀點和價值喔！

　　如果我們假設，那麼（因為公差＝10）

這10個數剛好可以分成5對新人，每對新人相加都等於790（＝3950÷5）

所以，因此

那麼如果Joe叔叔把題目改一下變成

例：有一個等差級數共11項，公差也是10，如果已知其總和為4345，請問第11項是多少？

　　因為總共有奇數項，我們可以用的公式很快就算出中間項，

，再配合等差數列的二號公式

。