等差數列三斧頭之一號公式（國二下）

等差數列三斧頭之一號公式（國二下）

　　等差數列的定義就是相鄰兩項中後項減掉前項為一個固定數，這個固定數就叫做「公差」。如果用數學符號來表示就是數列：

看起來這麼簡單的定義，在月考的時候卻常常愛考小朋友判斷哪些數列是等差數列喔！

　　看看下面幾個等差數列的例子：

（A）8，8，8，8，8＝＞Joe叔叔把這種都是一樣的數列叫做「心臟停止」，雖然公差是「0」，可是它絕對還是等差數列喔！

（B）＝＞看起來這些有開根號的數怎麼會是等差數列呢？其實只要做一些化簡就會一目瞭然囉！

，有沒有發現這個數列的公差就是（）

（C）＝＞整個數列都是未知數看起來有點怪怪的！不過檢查一下就會發現它是等差數列。

（D）＝＞這個數列相信很多小朋友如果來不及就會猜它不是等差數列，其實經過有理化後：

而，因此原本的數列經過整理就會變成：，這就是等差數列（）

　　看看下面幾個不是等差數列的例子：

（A）1，－1，1，－1，1＝＞這個數列看似有規律（振盪數列），可是卻不是等差數列，不相信檢查一下：－1－1＝－2（第二項減第一項），但是1－（－1）＝2（第三項減第二項），相鄰兩項沒有固定的公差就不是等差數列！

（B）＝＞這個數列則是常常騙倒一堆小朋友的題目喔！這個規律到不行的數列其實兩項之間的差通通都不一樣！例如：（第二項減第一項），而（第三項減第二項），所以它當然不是等差數列囉！

　　如果嫌上述幾個例子都很容易算出來，那我們來看看幾個用未知數表示的：

例：如果a、b、c、d四個數成等差數列，那麼以下的數列也都是等差數列：

（A） 順序倒過來也會是等差：d、c、b、a（而且新的公差就會是原本的相反數）

（B） 同加一個固定數也是等差：a＋5，b＋5，c＋5，d＋5（而且公差不變喔）

（C） 同減一個固定數也是等差：a－3，b－3，c－3，d－3（而且公差不變喔）

（D） 同乘一個數還是等差：7a，7b，7c，7d（新公差＝7×原本的公差）

（E） 同乘－1也是等差：－a，－b，－c，－d（新公差＝（－1）×原本的公差）

（F） 對應相加另一個等差數列仍然是等差：a＋1，b＋3，c＋5，d＋7（而新的公差就是這兩個數列的公差相加喔！請小朋友自己計算一下囉）

（G） a＋b，b＋c，c＋d也是等差數列：因為a，b，c和b，c，d都是等差數列

（H） b－a，c－b，d－c也是等差數列：因為b，c，d和－a，－b，－c都是等差數列！

但是如果a，b，c，d皆不為零時，下列兩種就不是等差數列囉

（A）（小朋友代1，2，3，4看看）

（B）1×a，2×b，3×c，4×d

　　看完了各種等差數列的介紹，Joe叔叔推薦小朋友月考必考的一號公式

：其中是代表第n項，當然就是第一項也就是首項，公差就是d，而（n－1）就是兩者之間的間隔數囉！接下來看一個標準問題：

例：一個等差數列的首項是，末項是－10，公差是，請問此數列共有幾項？

像這種知道首項末項和公差求n的題目，當然就是用一號公式囉！

　　另外，針對一號公式Joe叔叔在此介紹一個經典的問題，如果等差數列的第n項可表示為5n－2，請問此等差數列的公差是多少呢？

一個直覺的算法就是代n＝1，得到，代n＝2，得到

那麼根據一號公式：，。

不過Joe叔叔介紹一個可以一眼看出答案的快速解法，公差就是第n項中n的係數，那就是5！答案是不是和剛剛算了半天的結果一樣呢？