等差數列三斧頭之一號公式（國二下）

等差數列三斧頭之一號公式（國二下）

　　等差數列的定義就是相鄰兩項中後項減掉前項為一個固定數，這個固定數就叫做「公差」。如果用數學符號來表示就是數列：

看起來這麼簡單的定義，在月考的時候卻常常愛考小朋友判斷哪些數列是等差數列喔！

　　看看下面幾個等差數列的例子：

（A）8，8，8，8，8＝＞Joe叔叔把這種都是一樣的數列叫做「心臟停止」，雖然公差是「0」，可是它絕對還是等差數列喔！

（B）＝＞看起來這些有開根號的數怎麼會是等差數列呢？其實只要做一些化簡就會一目瞭然囉！

，有沒有發現這個數列的公差就是（）

（C）＝＞整個數列都是未知數看起來有點怪怪的！不過檢查一下就會發現它是等差數列。

（D）＝＞這個數列相信很多小朋友如果來不及就會猜它不是等差數列，其實經過有理化後：

而，因此原本的數列經過整理就會變成：，這就是等差數列（）

　　看看下面幾個不是等差數列的例子：

（A）1，－1，1，－1，1＝＞這個數列看似有規律（振盪數列），可是卻不是等差數列，不相信檢查一下：－1－1＝－2（第二項減第一項），但是1－（－1）＝2（第三項減第二項），相鄰兩項沒有固定的公差就不是等差數列！

（B）＝＞這個數列則是常常騙倒一堆小朋友的題目喔！這個規律到不行的數列其實兩項之間的差通通都不一樣！例如：（第二項減第一項），而（第三項減第二項），所以它當然不是等差數列囉！

　　如果嫌上述幾個例子都很容易算出來，那我們來看看幾個用未知數表示的：

例：如果a、b、c、d四個數成等差數列，那麼以下的數列也都是等差數列：

（A） 順序倒過來也會是等差：d、c、b、a（而且新的公差就會是原本的相反數）

（B） 同加一個固定數也是等差：a＋5，b＋5，c＋5，d＋5（而且公差不變喔）

（C） 同減一個固定數也是等差：a－3，b－3，c－3，d－3（而且公差不變喔）

（D） 同乘一個數還是等差：7a，7b，7c，7d（新公差＝7×原本的公差）

（E） 同乘－1也是等差：－a，－b，－c，－d（新公差＝（－1）×原本的公差）

（F） 對應相加另一個等差數列仍然是等差：a＋1，b＋3，c＋5，d＋7（而新的公差就是這兩個數列的公差相加喔！請小朋友自己計算一下囉）

（G） a＋b，b＋c，c＋d也是等差數列：因為a，b，c和b，c，d都是等差數列

（H） b－a，c－b，d－c也是等差數列：因為b，c，d和－a，－b，－c都是等差數列！

但是如果a，b，c，d皆不為零時，下列兩種就不是等差數列囉

（A）（小朋友代1，2，3，4看看）

（B）1×a，2×b，3×c，4×d

　　看完了各種等差數列的介紹，Joe叔叔推薦小朋友月考必考的一號公式

：其中是代表第n項，當然就是第一項也就是首項，公差就是d，而（n－1）就是兩者之間的間隔數囉！接下來看一個標準問題：

例：一個等差數列的首項是，末項是－10，公差是，請問此數列共有幾項？

像這種知道首項末項和公差求n的題目，當然就是用一號公式囉！

　　另外，針對一號公式Joe叔叔在此介紹一個經典的問題，如果等差數列的第n項可表示為5n－2，請問此等差數列的公差是多少呢？

一個直覺的算法就是代n＝1，得到，代n＝2，得到

那麼根據一號公式：，。

不過Joe叔叔介紹一個可以一眼看出答案的快速解法，公差就是第n項中n的係數，那就是5！答案是不是和剛剛算了半天的結果一樣呢？

等差級數三斧頭之三（集團結婚－國二下）

等差級數三斧頭之三（集團結婚－國二下）

　　上次Joe叔叔在介紹小高斯計算1＋2＋3＋……＋100＝5050的時候用的是梯形面積公式，其實還有另外一種被稱為是集團結婚的方法也可以拿來算這種等差的問題！

　　如果有50個男生（號碼牌從1號到50號）和50個女生（號碼牌從51號到100號）報名參加集團結婚，當牧師說拿到號碼牌相加起來是101的就請出列，這時候就會有50對新人，而且每對新人的號碼牌加起來都剛好是101喔！（例如1＋100＝2＋99＝3＋98＝…）所以答案就是101×50＝5050！

　　那如果把題目改成1＋2＋3＋……＋101怎麼用集團結婚的方法解呢？剛剛1加到100一共偶數個，現在1加到101是奇數個，多出來的那個怎麼辦呢？不用緊張囉！多出來的那個（最中間那個數）就是這場集團結婚的牧師！（也就是說如果是偶數個，就是自助結婚不需要牧師啦！XDDDD）

如果用冷冰冰的數學語言來說

配合上等差數列中的等差中項公式來看，上述的公式就很清楚了！

　　當n是奇數時，，也就是說每對新人相加後除以2（平均的意思拉）都等於站在中間的牧師（）

　　而當n是偶數的時候，其實它就是Joe叔叔介紹過的一號公式！

接下來就讓我們來牛刀小試一下囉！

例：有一個等差級數共有41項，如果第21項是17，請問此等差級數的總和＝？

　　如果用集團結婚的方法來算，這41項的中間就是第21項＝（41＋1）÷2；所以第21項就是他們的平均，因此總和就是17×41＝697。

例：若等差級數的，，則

　　如果用集團結婚的方法來算，

因此剩下的就是搞清楚總共有幾對新人及到底有沒有牧師的存在囉！

19－8＝11，但是不要忘記頭尾都要算所以11＋1＝12，因此共有6對新人（＝12÷2），算出來是偶數所以沒有牧師！所以每對新人相加都等於－10＋22＝12；算出來的答案就是77（＝12×6）。

如果嫌上述的問題太簡單，那就挑戰看看下面這一題！

例：有一個等差級數共10項，公差也是10，如果已知其總和為3950，請問第10項是多少？

　　乍看之下這題不知道首項和末項，不過冷靜下來用一號公式或二號公式其實都可以解題，在這邊Joe叔叔特別用「集團結婚」的方法來解解看，也讓小朋友知道其實數學存在各種不同的解法也各有它們的觀點和價值喔！

　　如果我們假設，那麼（因為公差＝10）

這10個數剛好可以分成5對新人，每對新人相加都等於790（＝3950÷5）

所以，因此

那麼如果Joe叔叔把題目改一下變成

例：有一個等差級數共11項，公差也是10，如果已知其總和為4345，請問第11項是多少？

　　因為總共有奇數項，我們可以用的公式很快就算出中間項，

，再配合等差數列的二號公式

。

等差級數的三斧頭之一號公式（國二下）

等差級數的三斧頭之一號公式：（國二下）

　　Joe叔叔曾經介紹過的小高斯算：1+2+3+….+100＝5050中所使用的梯形面積算法，

　　如果把題目用國中生的語言就可以改成：

例：一個等差級數首項為5，公差是3，求此級數第28項到第38項的和是多少？

　　如果說按照梯形面積公式來算，那麼第28項應該就是上底，而第38項則是下底，那高呢？高不就是總共有幾項嗎？可惜很多小朋友會在這個小學曾經學過的地方弄錯！很多小朋友會脫口而出說10項，因為38－28＝10，錯！因為少加了1（小學不是有學過植樹問題中：頭尾都算要加1嗎？38－28＝10只是間隔數喔！）

　　弄清楚每個環節後，剩下的就是代等差數列三斧頭中的第一斧：

所以：；

因此第28項到第38項的和＝

難道這個公式只能對付上述這麼簡單的題型嗎？

試試看下面這個例子：

例：已知一個等差數列32+28+….+第n項的和為0，請問n是多少？

　　相信很多小朋友乍看之下一定會楞一下，Joe叔叔不是說過第n項未知時就應該用二號公式嗎？怎麼一號也可以解題呢？

　　事實上小朋友不要忘了二號公式就是從一號衍生出來的喔！

一號公式=二號公式

這一題可以用一號公式解題的主要原因是它的總和為0！

所以：，而n一定不是0，只有

因此我們只要解

再配合上等差數列三斧頭中的第一斧：

接下來解n：；那公差d是多少呢？不就是後項減前項嗎？

d＝28－32＝－4；所以！！

三角形的底和高（小五）

三角形的底和高（小五）

　　在小學五年級的幾何中，三角形的面積是必考的重點，如果小朋友月考有這個單元的話，大人一定要幫小朋友複習以下Joe叔叔所提到的有關三角形的底和高的相關問題！

　　如果不弄清楚三角形的底和高的定義到底是什麼，那麼大概就只會以下幾種最簡單的基本圖形的算法：

　　如果學校的考試題目出那麼簡單就好了（每次小朋友問Joe叔叔學校會不會考的時候，Joe叔叔都會開玩笑的說，最好學校都只考1＋1＝？，等到進國中的時候就知道糟糕了！）

小朋友會出現疑惑的應該是下列這類的圖形：

請畫出圖中三角形之底所對應的高：

　　如果小朋友沒有把「底」和「高」的定義弄清楚，各種奇怪的畫法就會出現！

讓我們回顧一下基本定義：首先在三角形中每一個「底」都會有一個專屬的「高」（反過來說也對每一個「高」都會有一個專屬的「底」）

「底」：一定是三角形的一邊，同時邊的左右兩端都是三角形的頂點（A和B）

「高」：是從剩下的第三個頂點（C）往底邊做一條垂線（不過光是最後這句話就會讓不少小朋友產生疑惑，其實三角形的「高」不一定會落在三角形的內部喔）

（請回顧剛剛的圖一：高剛好也是三角形的一邊；而圖二的高則是落在三角形的裡面！）

　　為了讓小朋友印象深刻，Joe叔叔常講一個從比薩斜塔頂樓跳下來壓垮一台車的故事（如果有些大人或許有印象在還沒有7-11的年代發生過有人從頂樓跳下來壓死賣燒肉粽的社會新聞），如果以上面這個三角形的底是AB邊的話，那高就要從C點往AB邊做垂線，可是C點突出來在外面，只好把AB邊延長（畫成虛線）後，再從C 點往下畫垂線（要用到三角板喔），此時對應的高就是線段CH。

　　那麼考試的時候，題目有可能怎麼出呢？其實只要把圖形旋轉一下或把底標在不同的地方就有可能讓小朋友暈頭轉向了！

例如：下圖中底邊是AC線段，請畫出對應的高：

　　如果有小朋友背答案那肯定就被騙了！不過如果把Joe叔叔所說的「底」和高的定義弄清楚的小朋友就一定不會上當了

　　根據剛剛所提到的定義，「底」已經占用了A和C兩個頂點，所以「高」一定是從剩下的頂點B往AC邊做垂線，因此正確的畫法應該是如下圖，小朋友你畫對了嗎?

無限的可能（國一下）

無限的可能( 國一下 )

　　在國一下的學習重點中有一節就是二元一次方程式的圖形（Joe叔叔認為整個第一次月考的內容就是在為這一個單元鋪路喔！），在一般公立國中的進度中這個單元常被列入第二次月考的範圍，可是有一類型和這個章節息息相關的題目卻也很容易出現在第一次月考中（因此學習進度快一點的小朋友在考試的時候相對會比較佔一點優勢！），因此在國一下的第一次月考前大人如果能幫小朋友複習一下這個部分相信對於考試成績一定有幫助喔！

　　問題的型態常常是以下列的方式來呈現：

二元一次聯立方程式 有無限多解，請問m和n之值分別為多少？

　　如果小朋友已經學到剛剛提到的「二元一次方程式的圖形」那麼這一題就會變得簡單多了！（兩條重合的直線也就會有無限多個交點，也就是所謂的無限多解囉！）；可是如果還沒學到這個單元的話應該怎麼解呢？

　　答案就是「倍數關係」！如果我們看以下的例子應該就會很清楚：

這兩個二元一次方程式的根本就是一模一樣（下面那個就是上面那個的兩倍！）因此凡是符合x＋y＝2的x和y，代入2x＋2y＝4也一定會使等號兩邊相等囉！

當然會符合x＋y＝2的x和y有無限多組（例如x＝1、y＝1；x＝2、y＝0，依此類推！）所有所謂的一組二元一次方程式會有無限多解（或有的題目會寫成不只一組解！），對於Joe叔叔來說就是「倍數關係」！

　　因此回到這一題，如果下面的方程式要是上面方程式的倍數，那從x的係數來看（也就是x項前面的阿拉伯數字包括正負號在內喔！）9是3的3倍，所以把上面的方程式等號兩邊全部同乘3＝＞

此時如果要和下面的方程式一樣的話，m＝－3，n＝45。

　　如果小朋友覺得上述那題太簡單的話，不妨看看下面這一題：

已知二元一次聯立方程式有無限多解，則請問A和B各是多少？

　　基本上很多小朋友就算知道無限多解是「倍數關係」，看到這一題的時候還是有可能會愣一下！原因很簡單，因為這一題的倍數不是整數而是分數！

　　所以只要把目光集中在都是阿拉伯數字的地方（也就是y的係數，－16和－12），那麼就會迎刃而解囉！，因此下面的方程式應該是上面的倍：

，所以和下面的方程式一比對就可以得到，A＝21而B＝－6。看到這裡會不會覺得倍數關係很有威力呢！