線對稱與座標平面（國二下）

線對稱與座標平面（國二下）

　　這個單元看起來和小學所教的差不多，因此很多小朋友反而會掉以輕心。Joe叔叔在這裡先介紹幾個重要的觀念是國中才會教到的，來幫助小朋友準備考試！

　　首先A、B兩點是以直線L互為對稱點，那麼A點到L和B點到L的距離就會相等，此時我們說線段AB是被直線L給垂直平分！（請注意這時候就會有一種陷阱考題：直線L也會被線段AB平分，這句話是錯誤的，因為L是直線可以無限延伸無法計算長度，當然也無從平分囉！）

 

如果直線太過於抽象，那就請看看箏形的性質：

　　首先箏形並不是平行四邊形，因為平行四邊形是對邊等長，而箏形卻是鄰邊等長。平行四邊形的對角都相等，可是箏形只有一組對角相等（），平行四邊形的對角線互相平分，可是箏形只有一條對角線（線段AB）被另外一條對角線（線段CD）垂直平分，這時候線段CD就是這個箏形的唯一一條對稱軸！線段CD雖然與線段AB互相垂直，但是線段CD並沒有被線段AB平分喔！（也就是線段DO的長度不等於線段CO的長度），另外從箏形的對角線也可以學到有關垂直平分線的最重要性質：垂直平分線上任一點到兩端點等距離。

　　以這個例子來看線段CD就是線段AB的垂直平分線，D到A、B兩點等距離，也就是線段DA＝線段DB。

　　光是這麼簡單的一個性質就可以出一個搭配國一下二元一次方程式的圖形的考題。

例：若A（－6，0）和B（6，8）是以直線L：2x＋y＝k為對稱軸的兩對稱點，請問k＝？

　　如果這題要用畫圖的方式慢慢解，恐怕要花小朋友不少時間，可是如果掌握對稱的概念，知道A點到L和B點到L的距離相等的意思就是「A點和B點的中點也恰巧落在直線L上」（因為線段AB被L垂直平分囉！），接下來就是用中點公式來算出A、B的中點，然後直接代入到直線L的方程式去求k。因此用x＝0、y＝4代入2x＋y＝k；2×0＋4＝k，所以k＝4。

　　如果今天給定A點和對稱軸，然後要請小朋友畫出A點的對稱點那麼對於國中生來說應該都不是件太困難的事！可是如果把題目改出成求對稱點的座標的話呢？請看看下面的例子：

例：A點座標（－2，3），請問如果以x軸為對稱軸，求A點的對稱點座標？

　　相信很多小朋友一看到題目就會說簡單，因為直接把直角座標畫出來就知道答案了！不過Joe叔叔有另一種看法介紹給小朋友，如果說一個點的x座標是代表它的門牌號碼，那麼y座標就是代表它的樓層囉，今天延著x軸找A點的對稱點就是坐電梯上上下下（門牌號碼不變，x座標相同的意思）因此A點在樓上3F所以對於x軸的對稱點就應該在地下B3，所以A點相對於x軸的對稱點就應該是（－2，－3）！

　　如果覺得對稱於x軸太簡單，那就看看下面的例子吧！

例：A點座標（－2，3），請問如果以直線L：y＝x為對稱軸，求A點的對稱點座標？

　　當然，畫圖一定可以找出來。不過在此Joe叔叔提供一個比較快速的解法給小朋友參考。因為對稱軸是y＝x，所以A的對稱點的x座標就是原來A點的y座標（x＝y），而A的對稱點的y座標就是原來A點的x座標（y＝x），所以小朋友可以很快的寫出A點的對稱點座標就是（3，－2），是不是比畫圖快了些呢？

扇形－基礎篇（國二下平面圖形）

扇形－基礎篇（國二下平面圖形）

　　從國二下的第二章開始一直到國三上結束，國中的數學課程就會進入幾何的階段，Joe叔叔看過有些小朋友雖然代數很厲害可是碰到幾何就……

　　因此Joe叔叔非常重視幾何，也提醒小朋友幾何不像代數，幾何的變化非常的多，隨便畫一畫就是個新的圖形，基測中難題也常常出現在幾何喔！

　　雖然說平面圖形在國中幾何中應該算是baby等級的內容，但是因為實在太久沒有接觸到幾何了，再加上小學學的圓周長圓面積都已經還給老師，因此Joe叔叔特別把扇形的部分整理出來，相信看過之後對於月考會出現的扇形基本題一定可以得心應手！

　　首先當然要搞清楚扇形的定義，它的頂點是圓心，扇形的周長是兩條半徑及圓心角所對應的弧長。因此圓心角到底是幾度就成了最重要的課題了！

　　如果題目已經給我們圓心角，那小朋友只要算出這個扇形到底是幾分之幾圓其他扇形弧長和扇形面積就用圓周長和圓面積的等比例下去算就O.K.了！

例：有一個扇形已知其圓心角是60度，半徑是12，求扇形的弧長和面積？

　　當然幾分之幾圓可以用以下的公式來算：

（不要忘了一個圓是360度）

根據這個公式就可以算出這個扇形是圓，接下來

　　只不過有時題目會故意要小朋友求扇形周長（而非弧長），因此小朋友必須要把算出來的扇形弧長再加上兩條半徑才是正確答案喔！

扇形周長＝

　　上述的例子很簡單因為題目已經告訴我們圓心角了，在月考的時候老師常常是把題目反過來出，也就是給小朋友扇形的弧長、周長或扇形面積來反求圓心角，甚至從扇形周長求扇形面積的變化題！總之，不管題目怎麼變小朋友只要記得Joe叔叔講的，先算幾分之幾圓就對了！

例：已知一扇形的面積是，其半徑是6，請問這個扇形的周長是多少？

　　乍看之下，怎麼從扇形面積一下子就跳到扇形周長呢？反正Joe叔叔說過先求幾分之幾圓就對了！

所以這個扇形的圓周角就等於，而要算扇形周長就要先求扇形弧長＝，最後扇形周長＝扇形弧長+2×半徑＝。

　　最後我們來看看扇形在同心圓上的一個基本變形：

例：下圖中是一個同心圓所截出來的扇形，半徑分別是6和10，請問斜線部分的周長和面積各是多少？

　　首先我們只要弄清楚原來白色的小扇形和整個大扇形的圓心角都一樣是120度（也就是圓），其他的部分就和上面講過的解法都相同了！

斜線面積

＝大扇形－小扇形＝

斜線周長＝大扇形弧長＋小扇形弧長＋2×（大圓半徑－小圓半徑）

等差數列三斧頭之三號公式（國二下等差中項）

等差數列三斧頭之三號公式（國二下等差中項）

　　如果在等差數列中碰到不知道該用什麼公式，那麼用三號的機率就很高了！對於三號公式，也就是等差中項公式，Joe叔叔常開玩笑說那個等差中項就是「牧師」！

例如：

　　如果用數列的觀點來看，第一號和第九號的中間那個就是第五號了！（也就是說第五項就是第一號和第九號的「平均值」）

不過讓我們來看看證明：

　　但是如果碰到偶數個怎麼辦呢？這時候就用Joe叔叔所說的集團結婚的概念：

（因為不存在中間項），只要兩個人拿到的號碼牌相加起來一樣那他們兩對的「和」就一樣囉！

因此等差數列的三號公式可以整理成如下：

　　接下來我們就用等差中項的觀念來解幾題看看：

例：若a、b、c三數成等差數列，且a＋b＋c＝27，則b＝？

　　如果用剛剛提過的等差中項概念，a＋c＝2b＝＞a＋b＋c＝2b＋b＝3b＝27

所以b＝9，小朋友一定會說太簡單了！不用等差中項也可做出來。

　　那如果是下面這題呢？

例：若兩數的等差中項為4，兩數的積為－84，則兩數各為多少？

　　如果這題小朋友不知道什麼是等差中項那一定不會做（廢話！？）

　　根據等差中項的定義，a＋b＝2×等差中項＝2×4＝8，a×b＝－84，接下來又是用到代入法，a＝8－b，所以a×b＝（8－b）×b＝－84

，所以b＝14（a＝－6）或b＝－6（a＝14），因此此兩數就是14和－6。

　　看看下一個例子：

已知為等差數列，如果 ，請問

　　如果用等差中項的公式，一下子就可以發現：

因此。是不是很簡單呢？

　　不過如果把剛剛的題目稍微變一下，應該就可以騙到一些小朋友！

例：為等差數列，如果 ，，請問

　　乍看之下，一定會有小朋友會說這和等差中項有什麼關係呢？不過如果把它們加在一起就可以發現：

　　因此，兩個男生和兩個女生經過重新配對後，成了兩對……？！

　　這時後就可以回到等差中項公式：，有沒有恍然大悟？

　　事實上用等差中項還可以解像「插入數列」這類的難題：

例：在－8和24中間插入9個數，請問這9個數的總和是多少？

　　如果用等差中項的概念解題，為一個新的等差數列，因此，所以

　　這下子應該沒有小朋友會說，不會等差中項也沒關係了吧？

等差級數三斧頭之二號公式（國二下）

等差級數三斧頭之二號公式（國二下）

　　只要將第n項用等差數列的一號公式（）代入等差級數的一號公式中，就可以得到等差級數的二號公式。

　　Joe叔叔告訴小朋友只要不知道末項是多少，就可以試試看代二號公式求n。

例：設等差級數13＋22＋31＋……前n項的和為441，求n之值？

　　為什麼不能代一號公式呢？因為末項及項數都不知道的情況下，只有一個方程式是算不出兩個未知數的。

　　因此如果用二號公式，只要知道首項和公差就可以直接求n囉！

首先觀察出

化簡之後＝＞

　　接下來就是要用到國二上學過的十字交乘，相信有些小朋友會對於這種數字很大的十字交乘感到困擾，在此Joe叔叔和小朋友分享一個秘訣，那就是這類問題中n的二次方通常會分出n×9n（也就是會有一個係數為1的項，而比較少會是3n×3n），另外n所對應的會是一個負整數（這樣n的答案才會是正整數囉！）

　　把握這兩個原則，是不是就比較好做十字交乘了呢？

　　因此答案就會是n＝9（因為，而且n為正整數）

　　月考的時候，這類的問題幾乎是必考題，不過有時候題目會把數字出成小數或分數讓小朋友必須要更有耐心才能算出答案

例：設等差級數＋＋………前n項的和為28，求n＝ 。

　　雖然本題的各項都是分數，可是基本上算法和剛剛一樣，

首先 ，

化簡之後＝＞

接下來當然就是用Joe叔叔所說的小秘訣來做十字交乘

　　因此答案就會是n＝7（因為，而且n為正整數）

　　看到這裡會不會覺得二號公式和十字交乘會分不開呢？所以小朋友在準備月考時，一定要記得複習一下十字交乘喔！

　　不過這邊Joe叔叔要另外介紹一個看似用等差級數的二號公式來解，但事實上卻是用等差數列的一號公式才對的題型。

例：有一等差級數47＋41＋35+……，請問當n為多少時，前n項的和為最大？

　　乍看之下好像又是二號公式（因為末項不知道），但是冷靜下來想一下，究竟一個等差級數什麼時候會最大呢？那不就是不要加到負數時，才會最大嗎？因此小朋友只要考慮第n項何時會是負數？那麼只要加到第n－1項就好了不是嗎？（當然如果第n項是0的話，就會有兩個答案喔！也就是第n或n－1項。）

首先 ，

化簡之後＝＞，因此本題當n＝8時，前n項的和為最大？不相信檢查一下，如果加到第九項的話那不就會變小了嗎？