等差級數之5、10、15

等差級數之5、10、15

　　千萬別誤會！這可不是在划拳喔！Joe叔叔知道有一些小學老師都會教到

以下有關小高斯的一則有趣的題目：1+2+3+…..+98+99+100＝？

　　標準答案當然是5050，因為1+100＝101、2+99＝101、3＋98＝101，

依此類推這100個數總共可以分成50組，而每一組的答案都是101，因

此這100個數的總和就是101×50＝5050。

　　上述題目中所計算的1、2、3、4、…..、98、99、100，就是所謂的等差

數列（相鄰兩項相差為固定數，後項－前項＝公差＝間隔，在這個例子中

公差＝1，而Joe叔叔認為在等差數列中最基本的一個公式就

是：，也就是第n項和第m項相差（n－m）個間隔

（d）的意思！而如果把m特別取為1，就可以得到：

這個一般項的公式！

而小高斯這題的公式則是和梯形面積的求法相同：

（上底＋下底）×高÷2＝（首項＋末項）×項數÷2＝

，而我們只要再將代入

就可以求得另一個等差級數的公式：

　　接下來Joe叔叔要介紹一個看似很複雜其實只要回歸到等差數列的基本觀念

就可以解決的等差級數問題：

　　已知一等差級數前5項的總和為250，前10項的總和為850，請問此級數

的前15項的總和＝？

乍看之下很多小朋友就會想是不是用前n項和的公式，分別代n＝5和n＝10去解聯立方程式中的和d（），然後將解出來的和d再代n＝15去算前15項的總和（），這樣的算法雖然很合乎邏輯可是Joe叔叔還是覺得不夠快，因此在此跟小朋友分享另一種觀點來解這個題目，而且只用到最基本的觀念喔！

如果我們把這個等差級數每5項加在一起就會發現以下的現象：

其中，

同理，

…………………………………………………

同理因此比

一共多了25d＝5d+5d+5d+5d+5d；而

也比一共多了25d＝5d+5d+5d+5d+5d（相差為固定數！）

因此我們可以得到一個推論，如果把等差數列固定數目的項數合起來，那麼

這個新的數列本身也成為一個等差數列（相鄰兩項相差為固定數，後項－前項＝公差＝間隔，在現在這個例子中公差＝350）：

以這個例子來說

所以題目要求的，是不是很快就能算出來了呢？

一箭三鵰（三角形的重心） Part 2

一箭三鵰（三角形的重心）

　　接下來就要進入本題的重點，求G到BC邊的距離，所謂距離當然就是垂直距離囉！如果今天只單純把G對BC邊作垂線（垂足是F，也就是線段GF垂直線段BC的意思），相信很多小朋友還是不知道該如何是好，因此這種需要畫補助線的幾何題目就被Joe叔叔歸類為難題（另一種難題是畫很多條用不到的線來混淆喔！），常常題目越簡潔圖形越乾淨其實就有可能是難題（需要多一點想像力嘛），對這一題來說如果從頂點A作一條垂直於BC邊的線段（垂足是H，也就是高的意思）那麼很多小朋友就會豁然開朗了！

 

眼尖的小朋友就會發現，三角形ADH中有一組比例線段（因為線段GF和線段AH都同時垂直BC邊，所以互相平行），而在國三上第一章的相似形中，最基本的三角形比例線段的性質如下

如果線段DE平行底邊BC那麼 （三角形ADE和三角形ABC是相似形，因為對應的三個角都相等，原因又要回到平行線的同位角性質，角1＝角2，角3＝角4！幾何是不是很講連貫性呢？），所以在三角形ADH中如果我們知道，又能算出線段AH，那線段GF（也就是題目要求的重心G到BC邊的距離）不就呼之欲出了嗎！

因為在三角形ADH中，根據比例線段：

因此線段GF＝線段AH的三分之一！

所以最後的努力就是想辦法求出線段AH，如果今天三角形ABC是直角三角形，那麼線段AH可以直接用直角三角形斜邊上的高＝兩股相乘÷斜邊的公式，可是偏偏題目所給的這三邊13、14、15就不符合勾股定理中對直角三角形的敘述：兩股平方和＝斜邊平方15×15不等於13×13＋14×14，難道題目出錯了嗎？可是數字又看起來很漂亮不像有問題呀？

因此就要回到國二上的勾股定理中的共用一高，上圖中左右兩個三角形就是共用一高：線段AH，如果我們假設線段CH＝x，那麼線段BH＝14－x。

接下來就是針對左右兩個直角三角形分別列出勾股定理：

，如果把上面的方程式減掉下面的方程式就可以得到：（因為被消掉了）

經過化簡後就可以得到：56＝144－28x，所以x＝5，再代回去第二式就可以算出：，線段AH＝12，所以線段GF（也就是題目要求的重心G到BC邊的距離）＝4（線段AH的三分之一）

雖然題目已經算出來了，雞婆的Joe叔叔還是要告訴小朋友一個秘密，那就是Joe叔叔如果請勾股定理的五虎將來幫忙的話，不到一分鐘就算出線段AH了。

複習一下特殊直角三角形的五種代表性邊長（Joe叔叔給它們取名叫五虎將，事實上它們的倍數也都可以是直角三角形的三邊長喔）

在左邊的直角三角形中，斜邊AB是15，因此9和12應該就是兩股（它們是3、4、5的三倍也就是9、12、15）；而在右邊的直角三角形中，斜邊AC是13，因此5和12應該就是兩股，12是左右兩個直角三角形都有出現的股，那不就是共用的高AH嗎！線段CH＝5，線段BH＝9，加起來不就剛好等於14也就是題目中BC邊的長度嗎？所以說答案要漂亮的題目，數字是不是也要精心去湊呢？Joe叔叔相信看到這邊大人或許可以喚醒當年的記憶而小朋友絕對有幾何功力大增的感覺喔！

一箭三鵰（三角形的重心） part 1

一箭三鵰（三角形的重心）

從小學畢業後，國中的小朋友一直要等到國二上的勾股定理才會再度接觸到幾何，不過國二上也只有這個單元與幾何有關，接下來要等到國二下的第二章開始才會進入全面幾何的階段一直持續到國三上結束。（偏偏這個時候很多小朋友忙於準備模擬考，反而幾何沒有好好練習）

以Joe叔叔的經驗來說，幾何會比代數要難很多，如果翻翻基測考古題就不難發現包含國二上及之前的前三冊內容往往都是出基本題（當然也會有一兩個重點可以出創意題），但是幾何的難在於可以跨好幾個不同的單元來綜合命題，這是相對於代數問題的最大不同處！先別說這麼多，看看一個例子再說囉：

一個三角形ABC的三邊長分別是，如果G為重心，請問G到BC邊的距離＝？

Joe叔叔覺得這一題相當具有代表性，因為要解決這題會需要用到以下三個不同單元的觀念，第一：三角形的重心（國三上第三章），第二：勾股定理（國二上第二章），第三：相似形中的比例線段（國三上第一章）

像這樣的題目就符合Joe叔叔所說概念統合的題目，因此Joe叔叔把握以下的內容把所運用到的部分來好好幫大人及小朋友複習一下會用到的知識，相信對於準備基測來說會很有幫助喔！

首先一看到三角形的重心就應該先想到它是三中線的交點（所謂的中線指的是頂點到對邊中點連線，例如A到BC邊的中點D的連線，就是一條中線）。

接下來，很多用功的小朋友就會說，可是原因是什麼呢？（知道為什麼也很重要，不是只去死記公式喔！）

如果把三條中線都連起來（當然G就是它們的交點），很多小朋友就會一眼看出會把原先的三角形ABC平分為六等份，但是為什麼？為什麼？為什麼？（有點像強哥每天晚上九點的廣播節目中的音效吧）

首先回復到最原始的觀念，要把一個三角形分成兩等份最簡單的方法就是找一邊的中點（例如D）然後再把對面的頂點和它連起來（就是），這是小學生就知道的等底同高（三角形ABD的面積＝三角形ACD的面積），用同樣的道理我們可以得到：在三角形GBC中，三角形GBD的面積＝三角形GCD的面積，因此很快的我們可以發現：

（3）＝（4）；（5）＝（6）；（1）＝（2），剩下來的就是如何把它們串起來就可得到剛剛說的六等份囉！

回到剛剛所提的三角形ABD的面積＝三角形ACD的面積，用代號來表示就變成：（1）＋（2）＋（3）＝（6）＋（5）＋（4）；因為（3）＝（4），所以剛剛的等式的兩邊可以同時消掉左邊的（3）和右邊的（4），接下來就剩下（1）＋（2）＝（6）＋（5）；而（1）＝（2）且（5）＝（6），所以等號兩邊就變成：（1）＋（1）＝（6）＋（6），所以兩邊同除2後就會得到：（1）＝（6），接下來用同樣的方法說明就可以得到（5）＝（4），因此結果就是（2）＝（1）＝（6）＝（5）＝（4）＝（3）。

利用這個結果就可以從面積的觀點說明；對三角形ABD來說，三角形ABG的面積：三角形DBG的面積＝2：1（因為三角形ABG＝（1）＋（2），而三角形DBG＝（3）），所以再回到小學的同高的三角形（因為三角形ABG和三角形DBG同一頂點且底在同一直線上）所以底的比就是面積比，如此一來三角形ABG的面積：三角形DBG的面積＝2：1＝（也就是這兩個三角形的底的比！）

Joe叔叔花了這些篇幅來說明三角形重心的基本觀念，就是要讓大人與小朋友了解所謂數學觀念是連貫的，在這個地方表露無遺，如果對於小學的等底同高的概念不熟悉那麼恐怕就無法靈活運用各種基本的幾何性質囉！

從心出發（三角形的內心）

從心出發（三角形的內心）

內心是國三上數學第三章中的三大重點之一，一般對內心很多小朋友就會想到角度問題，或是從三角形的面積或三邊長來求內接圓半徑的公式，上述這些內容當然也很重要，不過Joe叔叔認為那些從基本觀念衍生出來的作圖題或是橫跨數個單元的題目或許才是考驗小朋友是否真正懂了的重點（當然這也是Joe叔叔認為基測會考的方向喔！但不一定是所謂的難題）

很多家長或許都忘記什麼是內心，簡單的說內心就是三角形三個角的角平分線交點（請參考附圖一），而由角平分線上任一點到角的兩邊等距離的性質（國二下第二章的內容，也可以利用兩個三角形全等來證明！請參考附圖二、三）就可以發現，這個交點會到三角形的三邊等距離喔！因此以這個交點為圓心到三邊的距離為半徑化圓，就可以在三角形內部畫出一個內切圓！

這樣只不過是幫大人及小朋友複習一下內心罷了，Joe叔叔當然要拿出一點special的來跟大家分享一下囉！如果一個任意三角形要請小朋友以三頂點為圓心分別作出三個圓，兩兩彼此外切（只有一個交點的意思），請問該怎麼作圖呢？（作圖題是基測常考熱門區喔！）

相信很多小朋友看到這邊一定會楞一下（內心所畫的圓在圓裡面，而外心雖然不一定在圓內，可是也是通過三角形的三頂點的一個圓，怎麼會跑出三個圓勒？）不過Joe叔叔提醒小朋友與其坐而言不如起而行，先把圖畫出來或許就能發現什麼也不一定喔！ 如果畫出一個三角形的內切圓，再搭配圓外一點到圓的兩切線長相等的性質（請參考附圖四），那就不難發現其中的蛛絲馬跡了！

回到三角形的內切圓（請參考附圖四），根據剛剛所說的圓外一點作切線的性質，我們可以得到：邊AD＝邊AE，邊BF＝邊BD，邊CE＝邊CF，如果今天真的要從三角形的三頂點去做出三個圓，那麼最傷腦筋的半徑就該選邊AD、邊BF和邊CE囉！（請參考附圖五）

總結一句，針對基測數學考作圖題的時候，第一：小朋友千萬不要因為題目敘述很長而放棄，其實內容越長線索越多（數學上的難題敘述通常很簡潔喔），第二：不要被牽著鼻子走，搞清楚題目在問什麼就先想想該怎麼做，方向在哪裡，如果答案出現自己所判斷出來的方向通常八九不離十了，最怕的是沒有自己先想過該怎麼作圖，而直接從答案一個一個看，這時候就像人云亦云一樣，看這個對看那個也對，那就糟了！

兩點之間(勾股定理)

兩點之間(勾股定理)

上國中後變得認真許多的James居然這次數學考試有一題勾股定理的題目寫錯了！（這還是Joe叔叔講義中有的題目耶？！）

題目是甲從原點出發向西走3單位、向北走4單位，乙也從原點出發向東走5單位、向南走12單位，請問兩人最後相距多少單位？

一開始Joe叔叔不太高興（最近心情本來就不太好的說），看到小朋友居然連講過的題目還寫錯（James平時的數學是蠻不錯的），頓時有點不太高興。冷靜下來的Joe叔叔（這也是Joe叔叔的優點，雖然鬱卒還是可以立刻清醒過來，算理智型的嗎？），問James到底是怎麼錯的？James一臉無辜的說：我就分別用五虎將（Joe叔叔教的特殊直角三角形三邊長例如：5、12、13），很快就心算出甲到原點距離5單位，乙到原點距離13單位，我直接把兩個距離加起來就是答案了，心理很高興就馬上給它寫下去了！

聽完James的答辯，Joe叔叔立刻知道James是中了陷阱，James所說的都沒錯，可是最後犯錯的地方就是把甲到原點的距離加上乙到原點的距離，就自以為那就等於是甲到乙的距離了！

其實如果甲乙和原點三點共線的話，James的作法也是可以的, 只不過出題老師的用意顯然不僅於此！如果三點不共線的話，根據小學所教過的三角形兩邊之和會大於第三邊（甲、乙和原點這三個點可形成三角形的三頂點喔！），那麼甲到原點的距離+乙到原點的距離就會大於第三邊（甲到乙的距離）！雖然上述的這個性質到國二下會再教一次不過現在的小學教材也的確有教過喔（Joe叔叔還請非常有趣的童軍繩助教示範這個性質給小學生看過呢！）

所以正確的做法應該是把甲和乙的座標標出來（例如甲就是(-3,4),而乙就是(5.-12)）然後再用兩點間的距離公式算出甲乙之間的直線距離！（這也是勾股定理的應用喔）就是正確答案了！

說完落落長的正確解法和觀念後，當然也要講一個小故事加強小朋友的印象囉！據說俄國有位皇帝，當大臣正在七嘴八舌討論究竟即將開挖的運河的路線應該怎麼規劃時，這位自以為聰明的皇帝看了不耐煩，就叫人拿了一把長尺和筆，在地圖上把運河的起點和終點間畫了一條直線！ 接著就說兩點之間直線是最短距離不是嗎？照這樣挖就對了！