一箭三鵰（三角形的重心） part 1

一箭三鵰（三角形的重心）

從小學畢業後，國中的小朋友一直要等到國二上的勾股定理才會再度接觸到幾何，不過國二上也只有這個單元與幾何有關，接下來要等到國二下的第二章開始才會進入全面幾何的階段一直持續到國三上結束。（偏偏這個時候很多小朋友忙於準備模擬考，反而幾何沒有好好練習）

以Joe叔叔的經驗來說，幾何會比代數要難很多，如果翻翻基測考古題就不難發現包含國二上及之前的前三冊內容往往都是出基本題（當然也會有一兩個重點可以出創意題），但是幾何的難在於可以跨好幾個不同的單元來綜合命題，這是相對於代數問題的最大不同處！先別說這麼多，看看一個例子再說囉：

一個三角形ABC的三邊長分別是，如果G為重心，請問G到BC邊的距離＝？

Joe叔叔覺得這一題相當具有代表性，因為要解決這題會需要用到以下三個不同單元的觀念，第一：三角形的重心（國三上第三章），第二：勾股定理（國二上第二章），第三：相似形中的比例線段（國三上第一章）

像這樣的題目就符合Joe叔叔所說概念統合的題目，因此Joe叔叔把握以下的內容把所運用到的部分來好好幫大人及小朋友複習一下會用到的知識，相信對於準備基測來說會很有幫助喔！

首先一看到三角形的重心就應該先想到它是三中線的交點（所謂的中線指的是頂點到對邊中點連線，例如A到BC邊的中點D的連線，就是一條中線）。

接下來，很多用功的小朋友就會說，可是原因是什麼呢？（知道為什麼也很重要，不是只去死記公式喔！）

如果把三條中線都連起來（當然G就是它們的交點），很多小朋友就會一眼看出會把原先的三角形ABC平分為六等份，但是為什麼？為什麼？為什麼？（有點像強哥每天晚上九點的廣播節目中的音效吧）

首先回復到最原始的觀念，要把一個三角形分成兩等份最簡單的方法就是找一邊的中點（例如D）然後再把對面的頂點和它連起來（就是），這是小學生就知道的等底同高（三角形ABD的面積＝三角形ACD的面積），用同樣的道理我們可以得到：在三角形GBC中，三角形GBD的面積＝三角形GCD的面積，因此很快的我們可以發現：

（3）＝（4）；（5）＝（6）；（1）＝（2），剩下來的就是如何把它們串起來就可得到剛剛說的六等份囉！

回到剛剛所提的三角形ABD的面積＝三角形ACD的面積，用代號來表示就變成：（1）＋（2）＋（3）＝（6）＋（5）＋（4）；因為（3）＝（4），所以剛剛的等式的兩邊可以同時消掉左邊的（3）和右邊的（4），接下來就剩下（1）＋（2）＝（6）＋（5）；而（1）＝（2）且（5）＝（6），所以等號兩邊就變成：（1）＋（1）＝（6）＋（6），所以兩邊同除2後就會得到：（1）＝（6），接下來用同樣的方法說明就可以得到（5）＝（4），因此結果就是（2）＝（1）＝（6）＝（5）＝（4）＝（3）。

利用這個結果就可以從面積的觀點說明；對三角形ABD來說，三角形ABG的面積：三角形DBG的面積＝2：1（因為三角形ABG＝（1）＋（2），而三角形DBG＝（3）），所以再回到小學的同高的三角形（因為三角形ABG和三角形DBG同一頂點且底在同一直線上）所以底的比就是面積比，如此一來三角形ABG的面積：三角形DBG的面積＝2：1＝（也就是這兩個三角形的底的比！）

Joe叔叔花了這些篇幅來說明三角形重心的基本觀念，就是要讓大人與小朋友了解所謂數學觀念是連貫的，在這個地方表露無遺，如果對於小學的等底同高的概念不熟悉那麼恐怕就無法靈活運用各種基本的幾何性質囉！