一箭三鵰（三角形的重心） Part 2

一箭三鵰（三角形的重心）

　　接下來就要進入本題的重點，求G到BC邊的距離，所謂距離當然就是垂直距離囉！如果今天只單純把G對BC邊作垂線（垂足是F，也就是線段GF垂直線段BC的意思），相信很多小朋友還是不知道該如何是好，因此這種需要畫補助線的幾何題目就被Joe叔叔歸類為難題（另一種難題是畫很多條用不到的線來混淆喔！），常常題目越簡潔圖形越乾淨其實就有可能是難題（需要多一點想像力嘛），對這一題來說如果從頂點A作一條垂直於BC邊的線段（垂足是H，也就是高的意思）那麼很多小朋友就會豁然開朗了！

 

眼尖的小朋友就會發現，三角形ADH中有一組比例線段（因為線段GF和線段AH都同時垂直BC邊，所以互相平行），而在國三上第一章的相似形中，最基本的三角形比例線段的性質如下

如果線段DE平行底邊BC那麼 （三角形ADE和三角形ABC是相似形，因為對應的三個角都相等，原因又要回到平行線的同位角性質，角1＝角2，角3＝角4！幾何是不是很講連貫性呢？），所以在三角形ADH中如果我們知道，又能算出線段AH，那線段GF（也就是題目要求的重心G到BC邊的距離）不就呼之欲出了嗎！

因為在三角形ADH中，根據比例線段：

因此線段GF＝線段AH的三分之一！

所以最後的努力就是想辦法求出線段AH，如果今天三角形ABC是直角三角形，那麼線段AH可以直接用直角三角形斜邊上的高＝兩股相乘÷斜邊的公式，可是偏偏題目所給的這三邊13、14、15就不符合勾股定理中對直角三角形的敘述：兩股平方和＝斜邊平方15×15不等於13×13＋14×14，難道題目出錯了嗎？可是數字又看起來很漂亮不像有問題呀？

因此就要回到國二上的勾股定理中的共用一高，上圖中左右兩個三角形就是共用一高：線段AH，如果我們假設線段CH＝x，那麼線段BH＝14－x。

接下來就是針對左右兩個直角三角形分別列出勾股定理：

，如果把上面的方程式減掉下面的方程式就可以得到：（因為被消掉了）

經過化簡後就可以得到：56＝144－28x，所以x＝5，再代回去第二式就可以算出：，線段AH＝12，所以線段GF（也就是題目要求的重心G到BC邊的距離）＝4（線段AH的三分之一）

雖然題目已經算出來了，雞婆的Joe叔叔還是要告訴小朋友一個秘密，那就是Joe叔叔如果請勾股定理的五虎將來幫忙的話，不到一分鐘就算出線段AH了。

複習一下特殊直角三角形的五種代表性邊長（Joe叔叔給它們取名叫五虎將，事實上它們的倍數也都可以是直角三角形的三邊長喔）

在左邊的直角三角形中，斜邊AB是15，因此9和12應該就是兩股（它們是3、4、5的三倍也就是9、12、15）；而在右邊的直角三角形中，斜邊AC是13，因此5和12應該就是兩股，12是左右兩個直角三角形都有出現的股，那不就是共用的高AH嗎！線段CH＝5，線段BH＝9，加起來不就剛好等於14也就是題目中BC邊的長度嗎？所以說答案要漂亮的題目，數字是不是也要精心去湊呢？Joe叔叔相信看到這邊大人或許可以喚醒當年的記憶而小朋友絕對有幾何功力大增的感覺喔！