最大公因數與最小公倍數－先加減還是後減加？

最大公因數與最小公倍數－先加減還是後減加？

有名的韓信點兵問題其實有好幾種變型，每次小朋友碰到它的變型的時候都會昏頭轉向的，聰明又有愛心的Jason建議Joe叔叔不如幫小朋友把相關的題型整理出來（沒錯，歸納正是Joe叔叔的強項喔！），因此Joe叔叔決定把整理出來的結論寫下來，讓小朋友以後遇到這類問題時都能信心滿滿！

最簡單的問題應該就像：

問題A：甲數用8、15、20去除，都會餘5，請問甲數最小是多少？

問題B：280除以乙數餘16，880除以乙數餘22，求乙數是多少？

要弄清楚這兩個問題的差別，必須先知道中文的意思，對於小學生來說，Joe叔叔一定會強調下面幾件事：

甲除以乙＝甲÷乙＝，所以有那個「以」字出現那前面的「甲」就是「被除數」，後面的「乙」就是「除數」！

甲除乙＝乙÷甲＝，因為「以」字不見了，所以甲就要跪下來給乙當椅子坐（變成分母的意思），這時前面的「甲」就變成「除數」，後面的「乙」就是「被除數」！

因此前面提到的問題A中，甲就是「被除數」（甲用8去除＝8除甲，這完全是中文語法的問題！）；而問題B中，很明顯的乙當然是「除數」！

對於一般的整數除法來說（商也是整數的意思），被除數當然要比除數大囉！而對於同樣一組數字來說，最小公倍數也一定比最大公因數大囉！所以求「被除數」的時候就等於是在問「最小公倍數」，而求「除數」的時候就等於是在問「最大公因數」！

因此原先的兩個問題我們可以重新整理如下：

問題A：甲數用8、15、20去除，都會餘5，請問甲數最小是多少？

＝＞甲是「被除數」，是求「最小公倍數」

問題B：280除以乙數餘16，880除以乙數餘22，求乙數最大是多少？

＝＞乙是「除數」，是求「最大公因數」

剩下來就是小朋友最容易搞混的地方了，究竟是先加減還是後減加呢？

對於這點Joe叔叔也有個很生活化的例子，以問題A中的甲，相當於拿一堆不知道有幾顆的糖果（就是被除數）拿去分給小朋友（除數），如果分完後還會有多出來那最後就再加上去就好了！所以是先求出8、15、20的最小公倍數後再加上餘數！（當然此時餘數一定都要一樣才行）

而問題B中的乙數則恰好相反，糖果的顆數是已知的，而小朋友的人數是未知的，如果要把固定數量的糖果分給不知道有幾個小朋友，如果糖果不夠分那就應該趕快去買（不足用「加」），如果糖果有多出來那就趕快先拿給Joe叔叔吃掉（有餘變成「減」），因此求除數乙的時候恰巧與求被除數甲的順序相反！先把餘數減掉後，再去求280、880的最大公因數！

最後Joe叔叔再把規則用表格來整理一次

問題A：甲數用8、15、20去除，都會餘5，請問甲數最小是多少？	問題B：280除以乙數餘16，880除以乙數餘22，求乙數最大是多少？
求被除數	求除數
先求最小公倍數	有餘用減，不足用加
有餘用加，不足用減	再求最大公因數

小朋友如果理解之後，Joe叔叔還有一個更快的記憶方法就是只要記左邊求「被除數」的方法及順序，然後只要記得右邊都和左邊相反就夠了！（先求變後求，有餘用加就變成減），這類的問題當然還有很多變化和延伸，不過最重要的起源應該就是兩者的差異了！如果有機會的話，Joe叔叔會把其他類似的變化也整理出來給小朋友練習喔！