等差級數之5、10、15

等差級數之5、10、15

　　千萬別誤會！這可不是在划拳喔！Joe叔叔知道有一些小學老師都會教到

以下有關小高斯的一則有趣的題目：1+2+3+…..+98+99+100＝？

　　標準答案當然是5050，因為1+100＝101、2+99＝101、3＋98＝101，

依此類推這100個數總共可以分成50組，而每一組的答案都是101，因

此這100個數的總和就是101×50＝5050。

　　上述題目中所計算的1、2、3、4、…..、98、99、100，就是所謂的等差

數列（相鄰兩項相差為固定數，後項－前項＝公差＝間隔，在這個例子中

公差＝1，而Joe叔叔認為在等差數列中最基本的一個公式就

是：，也就是第n項和第m項相差（n－m）個間隔

（d）的意思！而如果把m特別取為1，就可以得到：

這個一般項的公式！

而小高斯這題的公式則是和梯形面積的求法相同：

（上底＋下底）×高÷2＝（首項＋末項）×項數÷2＝

，而我們只要再將代入

就可以求得另一個等差級數的公式：

　　接下來Joe叔叔要介紹一個看似很複雜其實只要回歸到等差數列的基本觀念

就可以解決的等差級數問題：

　　已知一等差級數前5項的總和為250，前10項的總和為850，請問此級數

的前15項的總和＝？

乍看之下很多小朋友就會想是不是用前n項和的公式，分別代n＝5和n＝10去解聯立方程式中的和d（），然後將解出來的和d再代n＝15去算前15項的總和（），這樣的算法雖然很合乎邏輯可是Joe叔叔還是覺得不夠快，因此在此跟小朋友分享另一種觀點來解這個題目，而且只用到最基本的觀念喔！

如果我們把這個等差級數每5項加在一起就會發現以下的現象：

其中，

同理，

…………………………………………………

同理因此比

一共多了25d＝5d+5d+5d+5d+5d；而

也比一共多了25d＝5d+5d+5d+5d+5d（相差為固定數！）

因此我們可以得到一個推論，如果把等差數列固定數目的項數合起來，那麼

這個新的數列本身也成為一個等差數列（相鄰兩項相差為固定數，後項－前項＝公差＝間隔，在現在這個例子中公差＝350）：

以這個例子來說

所以題目要求的，是不是很快就能算出來了呢？