超級比一比(比與比值)

超級比一比

除了未知數之外，「比與比值」應該是小學階段所學到相當重要的一個單元，可是到了國一下學期又會有一整個章在教「比」，其中第一單元看起來和國小的部份又有相當多重覆的部份，究竟國小與國中在教「比」的部份究竟有哪些地方不同呢？針對這個問題，Joe叔叔的答案就是國中在教「比」的時候，會比國小的部份多了一個「參數式」的概念，基本上就是把未知數的概念引進來，這是國中與國小處理「比」的部分最大的不同之處！

首先看看以下這個例子

有兩個桶子裝著一樣多的彈珠，如果第一桶中藍色與白色的數量比是4：5，另一桶中藍色與白色的數量比是2：1，則請問兩桶合起來藍色彈珠和白色彈珠的數量比是多少？

如果用猜的，相信很多小朋友會猜 （4＋2）：（5＋1）＝6：6＝1：1，結果當然是錯的。其中關鍵的字眼在於「一樣多」，用上述那種直接加的方法如果再仔細想一下就知道是錯的！因為第一桶有4＋5＝9個，但是第二桶卻只有2＋1＝3個，當然反應快一點的小朋友就會把第二桶的2：1直接同乘3，變成6：3，如此一來第二桶就有6＋3＝9（符合兩桶一樣多的敘述），此時題目變成：第一桶中藍色與白色的數量比是4：5，另一桶中藍色與白色的數量比是6：3，接下來用剛剛的做法答案就會是正確的！（4＋6）：（5＋3）＝10：8＝5：4。其實這樣的做法就已經隱藏了Joe叔叔所說的參數式在裡面！

回到原始題目第一桶中藍色與白色的數量比是4：5，另一桶中藍色與白色的數量比是2：1，則請問兩桶合起來藍色彈珠和白色彈珠的數量比是多少？

如果第一桶中的藍色彈珠有4x顆、白色彈珠有5x顆（反正算比的時後，x可以消掉），而第二桶中的藍色彈珠有2y顆、白色彈珠有y顆，題目所說的兩桶有一樣多的彈珠可以列成 4x＋5x＝2y＋y，所以9x＝3y，因此3x＝y。把y用3x代入，原來的題目就會變成：第一桶中的藍色彈珠有4x顆、白色彈珠有5x顆，而第二桶中的藍色彈珠有2y＝6x顆、白色彈珠有y＝3x顆，此時再用直接相加的方法算兩桶合起來藍色彈珠和白色彈珠的數量比：（4x＋6x）：（5x＋3x）＝10x：8x＝10：8（消掉x）＝5：4。

如果光只是用上面的例子，或許小朋友還會說參數式要到連比才有用，那麼Joe叔叔就趕快舉一個觀念題的例子來說明：若x：y＝5：2，請問（x－1）：（y＋1）＝4：3，是否正確？ 如果這題用猜的很多小朋友又會直接代x＝5、y＝2去算，結果x－1＝4、y＋1＝3，所以當然是對的囉！不過如果真的那麼簡單代代數字就好，那何必叫做比呢？當然有些小朋友會用老師教的方法，先把x和y都先乘2以後再代進去，也就是x：y＝5×2：2×2＝10：4，結果x－1＝9、y＋1＝5，所以當然敘述變成是錯的！

其實這種先乘2再代入的方法也是隱藏了參數式的概念！回到前面的題目若x：y＝5：2，請問（x－1）：（y＋1）＝4：3，是否正確？如果令x＝5t、y＝2t（反正算比的時後，t可以消掉），再代入（x－1）：（y＋1）＝（5t－1）：（2t＋1），這裡的t消不掉！因此比的結果絕對會因為t的改變而改變，不會是固定的比！

接下來再來看看另一個例子，如果x、y皆大於0，且11x－y＝2x＋6y，則請問（x＋7）：（y＋9）＝？如果比照上題，相信很多小朋友會脫口而出，沒有固定的比，但是如果真的用參數式代進去，就可以發現陷阱在哪裡了！首先整理11x－y＝2x＋6y，變成11x－2x＝6y＋y，所以9x＝7y，根據小學所教的，x：y＝7：9（內乘內等於外乘外！），再用參數式 x＝7t、y＝9t代入（x＋7）：（y＋9）＝（7t＋7）：（9t＋9）＝7（t＋1）：9（t＋1）＝7：9（因為可以同除掉（t＋1）），所以這題反而是對的！

看了這麼多的例子，小朋友應該不難了解，在國中學用參數式來解「比」的相關問題才是王道！如果一昧的只用代數字的方法解題，一不小心就有可能會中陷阱不是嗎？